32) Regla de Sustitucion - Integrales Indefinidas

Clase 32: Regla de Sustitución - Integrales Indefinidas

📚 Introducción

Hasta ahora hemos calculado antiderivadas usando fórmulas directas de la tabla de antiderivación. Sin embargo, la mayoría de las integrales que encontramos en la práctica no se pueden calcular de forma inmediata. La Regla de Sustitución (o Teorema del Cambio de Variable) es la primera y más importante técnica de integración que aprenderemos.

Esta técnica es esencialmente la Regla de la Cadena al revés: así como la Regla de la Cadena nos ayudó a derivar funciones compuestas, la Regla de Sustitución nos ayuda a integrar funciones compuestas.

Objetivos de la Clase

• Comprender el Teorema del Cambio de Variable para integrales indefinidas
• Dominar la técnica de sustitución o cambio de variable
• Identificar cuándo y cómo elegir una sustitución apropiada
• Calcular integrales indefinidas usando sustitución
• Reconocer patrones comunes de integración por sustitución

---

1. Motivación: La Regla de la Cadena al Revés

1.1 El Problema

Consideremos la integral:

$\int 2x\sqrt{1+x^2}dx$

No hay una fórmula directa en nuestra tabla de antiderivadas para esta expresión.

1.2 Observación Clave

Para hallar esta integral, usaremos la estrategia de introducir algo adicional. En este caso, el “algo adicional” es una nueva variable; cambiemos de una variable $x$ a una variable $u$.

Intuición Fundamental

Supongamos que hace que $u$ sea el radicando de la integral. Entonces:

$u=1+x^2$

La diferencial de $u$ es:

$du=2xdx$

Observe que si la $dx$ en la notación para una integral se interpretara como una diferencial, entonces en la expresión debe tenerse la diferencial $2xdx$ y, por consiguiente, desde un punto de vista formal y sin justificar este cálculo, podríamos escribir:

$\int 2x\sqrt{1+x^2}dx=\int \sqrt{1+x^2}\cdot 2xdx=\int \sqrt{u}du$

$=\frac{2}{3}{u}^{3/2}+C=\frac{2}{3}(x^2+1{)}^{3/2}+C$

1.3 Verificación

Podemos verificar que tenemos la respuesta correcta aplicando la regla de la cadena para derivar la función final:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{3}(x^2+1{)}^{3/2}+C\right]=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(x^2+1{)}^{1/2}\cdot 2x=2x\sqrt{1+x^2}$

---

2. El Teorema del Cambio de Variable

2.1 Enunciado Formal

Si hacemos el “cambio de variable” o la “sustitución” $u=g(x)$, entonces, a partir de la ecuación, tenemos:

$\int F^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(g(x))+C=F(u)+C=\int F^{\prime }(u)du$

o bien, si se escribe $F^{\prime }=f$ se obtiene:

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$

Teorema 4 - Regla de Sustitución

Si $u=g(x)$ es una función derivable e cuyo rango es un intervalo $I$ y $f$ es continua sobre $I$, entonces:

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$

2.2 Cómo Recordar la Regla

Note que la regla de sustitución para la integración se probó aplicando la regla de la cadena para la derivación. Asimismo, observe que, si $u=g(x)$, entonces $du=g^{\prime }(x)dx$, de modo que una manera de recordar la regla de sustitución es pensar en $dx$ y $du$ de como diferenciales.

Regla Práctica

Así pues, la regla de sustitución establece: es permitido operar con $dx$ y $du$ después de los signos de integral como si fueran diferenciales.

---

3. Ejemplos Básicos de Sustitución

3.1 Ejemplo 1: Potencia y Coseno

Problema

Encuentre $\int x^3\cos (x^4+2)dx$

Solución

Hacemos la sustitución $u=x^4+2$ porque su diferencial es $du=4x^{3}dx$, la cual, aparte del factor constante 4, aparece en la integral. De este modo, con:

$x^{3}dx=\frac{1}{4}du$

y la regla de sustitución, tenemos:

$\int x^3\cos (x^4+2)dx=\int \cos (x^4+2)\cdot x^{3}dx$

$=\frac{1}{4}\int \cos u\cdot \frac{1}{4}du=\frac{1}{4}\int \cos udu$

$=\frac{1}{4}\sin u+C$

$=\frac{1}{4}\sin (x^4+2)+C$

Note que en la etapa final tuvimos que regresar a la variable original $x$.

Comprobación

Puede derivar la respuesta para verificar que es correcta.

3.2 Ejemplo 2: Dos Sustituciones Posibles

Problema

Evalúe $\int \sqrt{2x+1}dx$

Solución 1

Sea $u=2x+1$. Entonces $du=2dx$, de modo que $dx=\frac{1}{2}du$. De esta forma, la regla de sustitución da:

$\int \sqrt{2x+1}dx=\int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{1/2}du$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C$

$=\frac{1}{3}(2x+1{)}^{3/2}+C$

Solución 2

Otra posible sustitución es $u=\sqrt{2x+1}$. Entonces:

$du=\frac{dx}{2\sqrt{2x+1}}\text{asıˊ que}dx=2\sqrt{2x+1}du=udu$

(O bien, observe que $u^2=2x+1$, de manera que $2udu=2dx$.) Por tanto,

$\int \sqrt{2x+1}dx=\int u\cdot udu=\int u^{2}du$

$=\frac{u^3}{3}+C=\frac{1}{3}(2x+1{)}^{3/2}+C$

3.3 Ejemplo 3: Fracción con Raíz

Problema

Encuentre $\int \frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$

Solución

Sea $u=1-4x^2$. Entonces $du=-8xdx$, de manera que $xdx=-\frac{1}{8}du$ y:

$\int \frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}dx=-\frac{1}{8}\int \frac{1}{u}du=-\frac{1}{8}\int u^{-1/2}du$

$=-\frac{1}{8}(2\sqrt{u})+C=-\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^2}+C$

Interpretación gráfica: La respuesta para el ejemplo 3 puede comprobarse por derivación; pero, en lugar de ello, hagalo de manera visual con una gráfica. En la figura se usó una computadora para trazar las gráficas del integrando $f(x)=x/\sqrt{1-4x^2}$ y de su integral indefinida $g(x)=-\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^2}$ (tomando el caso $C=0$). Note que $g(x)$ decrece cuando $f(x)$ es negativa, crece cuando $f(x)$ es positiva y tiene su valor mínimo cuando $f(x)=0$. De modo que parece razonable, a partir de la evidencia gráfica, que $g$ sea una antiderivada de $f$.

3.4 Ejemplo 4: Función Exponencial

Problema

Calcule $\int e^{5x}dx$

Solución

Si hacemos $u=5x$, entonces $du=5dx$, de modo que $dx=\frac{1}{5}du$. Por tanto,

$\int e^{5x}dx=\frac{1}{5}\int e^{u}du=\frac{1}{5}{e}^u+C=\frac{1}{5}{e}^{5x}+C$

Nota sobre Simplificación

Con cierta experiencia, podríamos evaluar integrales como los ejemplos 1-4 sin pasar por la molestia de hacer una sustitución explícita. Reconociendo el patrón en la ecuación, donde el integrando en el lado izquierdo es el producto de la derivada de una función externa y la derivada de la función interna, podríamos trabajar…

---

4. Ejemplos Avanzados

4.1 Ejemplo 5: Factorización y Sustitución

Problema

Obtenga $\int \sqrt{1+x^2}{x}^{5}dx$

Solución

Una sustitución apropiada es más evidente si factorizamos $x^5$ como $x^4\cdot x$:

Sea $u=1+x^2$. Entonces $du=2xdx$, de manera que $xdx=\frac{1}{2}du$. También $x^2=u-1$, así que $x^4=(u-1{)}^2$:

$\int \sqrt{1+x^2}{x}^{5}dx=\int \sqrt{1+x^2}{x}^4\cdot xdx$

$=\int \sqrt{u}(u-1{)}^2\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}(u^2-2u+1)du$

$=\frac{1}{2}\int (u^{5/2}-2u^{3/2}+u^{1/2})du$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}{u}^{7/2}-2\cdot \frac{2}{5}{u}^{5/2}+\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right)+C$

$=\frac{1}{7}(1+x^2{)}^{7/2}-\frac{2}{5}(1+x^2{)}^{5/2}+\frac{1}{3}(1+x^2{)}^{3/2}+C$

4.2 Ejemplo 6: Tangente

Problema

Obtenga $\int \tan xdx$

Solución

En primer lugar, escribimos la tangente en términos de seno y coseno:

$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$

Esto sugiere que debemos sustituir $u=\cos x$, ya que $du=-\sin xdx$ y, como consecuencia, $\sin xdx=-du$:

$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{u}du$

$=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C$

Puesto que $-\ln |\cos x|=\ln (|\cos x{|}^{-1})=\ln (1/|\cos x|)=\ln |\sec x|$, el resultado del ejemplo 6 también puede escribirse como:

Fórmula Importante

$\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C$

---

5. Cómo Elegir la Sustitución Correcta

5.1 Estrategia General

Guía para Elegir la Sustitución

La idea detrás de la regla de sustitución es remplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original $x$ a una nueva variable $u$ que sea función de $x$. Así, en el ejemplo 1 remplazamos la integral $\int x^3\cos (x^4+2)dx$ con la integral más sencilla $\frac{1}{4}\int \cos udu$.

El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Procure elegir $u$ como alguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente (excepto para un factor constante). Este fue el caso en el ejemplo 1. Si no es posible, escoja $u$ como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea si su primer supuesto no funciona, intente con otro.

5.2 Patrones Comunes

Reconociendo Patrones

Con cierta experiencia, podrías reconocer en el ejemplo 1, sin pasar explícitamente por una sustitución, que:

$\int x^3\cos (x^4+2)dx=\frac{1}{4}\int \cos (x^4+2)\cdot \frac{d}{dx}(x^4+2)dx$

$=\frac{1}{4}\int \cos (x^4+2)\cdot (4x^3)dx=\frac{1}{4}\sin (x^4+2)+C$

Del mismo modo, la solución para el ejemplo 4 podría expresarse como:

$\int e^{5x}dx=\frac{1}{5}\int 5e^{5x}dx=\frac{1}{5}\int \frac{d}{dx}(e^{5x})dx=\frac{1}{5}{e}^{5x}+C$

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Regla de Sustitución: $\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ donde $u=g(x)$
2. Diferencial: Si $u=g(x)$, entonces $du=g^{\prime }(x)dx$
3. Estrategia: Buscar una función cuya diferencial esté presente en el integrando
4. Verificación: Siempre derivar la respuesta para comprobar
5. Regreso a $x$: Al final, expresar la respuesta en términos de la variable original
6. Factorización: A veces es útil factorizar antes de sustituir

---

🚨 Errores Comunes

Error 1: No regresar a la variable original

• Incorrecto: Dejar la respuesta como $\frac{1}{4}\sin u+C$
• Correcto: Regresar a $x$: $\frac{1}{4}\sin (x^4+2)+C$

Error 2: Olvidar ajustar el diferencial

• Incorrecto: Si $u=2x+1$, usar $dx=du$
• Correcto: Si $u=2x+1$, entonces $du=2dx$, así que $dx=\frac{1}{2}du$

Error 3: Elegir una sustitución inadecuada

• Problema: No todas las sustituciones funcionan
• Solución: Si la primera sustitución no funciona, intentar con otra

Error 4: No simplificar antes de integrar

• Incorrecto: Intentar integrar directamente sin simplificar
• Correcto: Factorizar o expandir primero para facilitar la sustitución

---

📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica (1-6)

Evalúe cada una de las siguientes integrales efectuando la sustitución dada:

1. $\int x\sin (1+x^2)dx$, $u=1+x^2$
2. $\int x\cos (x^2)dx$, $u=x^2$
3. $\int x^2\sqrt{x^3+1}dx$, $u=x^3+1$
4. $\int \frac{x^2}{x^3+1}dx$, $u=x^3+1$
5. $\int x^2(1+x^3{)}^{4}dx$, $u=1+x^3$
6. $\int e^x\sqrt{1+e^x}dx$, $u=1+e^x$

Ejercicios Nivel Intermedio (7-24)

Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas:

7. $\int x\sin (x^2)dx$
8. $\int x^2{e}^{x^3}dx$
9. $\int (1-2x{)}^{9}dx$
10. $\int (3t+2{)}^{2.4}dt$
11. $\int (x+1)\sqrt{2x+x^2}dx$
12. $\int {\sec }^{2}2\theta d\theta$
13. $\int \frac{dx}{5-3x}$
14. $\int u\sqrt{1-u^2}du$
15. $\int \sin \pi tdt$
16. $\int e^x\cos (e^x)dx$
17. $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$
18. $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx$
19. $\int \frac{e^x}{(1-e^x{)}^2}dx$
20. $\int \frac{a+b{x}^2}{3ax+b{x}^3}dx$
21. $\int \frac{(\ln x{)}^2}{x}dx$
22. $\int {\cos }^4\theta \sin \theta d\theta$
23. $\int {\sec }^2\theta {\tan }^3\theta d\theta$
24. $\int x\sin (1+x^{3/2})dx$

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 5.5: Regla de sustitución, págs. 407-410

Enlaces Relacionados

• 31) Integrales Indefinidas y Teorema del Cambio Neto - Tema previo
• 33) Regla de Sustitucion - Integrales Definidas - Continuación
• Regla-de-la-Cadena - Base teórica
• Antiderivadas - Concepto fundamental

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Técnicas de Integración

La Regla de Sustitución es la primera de varias técnicas de integración que estudiaremos. En clases posteriores aprenderemos integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales, todas basadas en la idea fundamental de transformar integrales complicadas en otras más simples.

---

Sugerencia de Estudio

La Regla de Sustitución es una de las técnicas más importantes del cálculo. Practica reconocer patrones donde aparece una función y su derivada en el integrando. La clave está en identificar qué sustituir: busca la “función interna” de una composición, o una expresión cuya diferencial esté presente. Con la práctica, desarrollarás la intuición para elegir la sustitución correcta.

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo que la Regla de Sustitución es la Regla de la Cadena “al revés”
• Sé identificar cuándo aplicar una sustitución
• Puedo calcular el diferencial $du$ correctamente a partir de $u=g(x)$
• Entiendo cómo ajustar los factores constantes en la sustitución
• Siempre regreso a la variable original $x$ al final
• Puedo verificar mis respuestas derivando
• Reconozco patrones comunes que sugieren una sustitución
• Sé cuándo factorizar antes de sustituir
• Puedo resolver integrales como $\int \tan xdx$ usando sustitución
• Practico eligiendo diferentes sustituciones cuando la primera no funciona

---

🏷️ Tags

calculo integrales sustitucion cambio-variable tecnicas-integracion clase-32 clase regla-cadena integracion

---

Navegación

• ⬅️ 31) Integrales Indefinidas y Teorema del Cambio Neto
• ➡️ 33) Regla de Sustitución - Integrales Definidas