Prueba-Segunda-Derivada

Prueba de la Segunda Derivada

Teorema

Prueba de la Segunda Derivada

Suponga que $f^{\prime \prime }$ es continua cerca de $c$.

• Si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)>0$, entonces $f$ tiene un minimo local en $c$
• Si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)<0$, entonces $f$ tiene un maximo local en $c$
• Si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)=0$, la prueba no es concluyente

Interpretacion

Intuicion Geometrica

• Si $f^{\prime \prime }(c)>0$: La funcion es concava hacia arriba en $c$, por lo que hay un minimo
• Si $f^{\prime \prime }(c)<0$: La funcion es concava hacia abajo en $c$, por lo que hay un maximo

Procedimiento

Pasos para Aplicar la Prueba

1. Encontrar $f^{\prime }(x)$
2. Resolver $f^{\prime }(x)=0$ para encontrar Numeros-Criticos
3. Calcular $f^{\prime \prime }(x)$
4. Evaluar $f^{\prime \prime }(c)$ para cada numero critico $c$
5. Aplicar el criterio

Ejemplo

Aplicacion

Para $f(x)=x^3-3x+1$:

Paso 1-2: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟹x=\pm 1$

Paso 3: $f^{\prime \prime }(x)=6x$

Paso 4-5:

• En $x=-1$: $f^{\prime \prime }(-1)=-6<0$ → maximo local
• En $x=1$: $f^{\prime \prime }(1)=6>0$ → minimo local

Cuando Falla la Prueba

Caso Inconcluyente

Si $f^{\prime \prime }(c)=0$, la prueba no da informacion.

Ejemplos:

• $f(x)=x^4$ en $x=0$: $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, pero hay un minimo
• $f(x)=-x^4$ en $x=0$: $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, pero hay un maximo
• $f(x)=x^3$ en $x=0$: $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, no hay extremo

En estos casos, usar la Prueba-Primera-Derivada.

Ventajas y Limitaciones

Comparacion

Ventajas:

• Mas rapida que la prueba de la primera derivada
• Solo requiere evaluar en los numeros criticos

Limitaciones:

• Requiere que $f^{\prime \prime }$ exista
• No es concluyente cuando $f^{\prime \prime }(c)=0$
• No da informacion sobre intervalos

Clases Relacionadas

• 23) Como Afecta Derivada Forma Grafica
• 21) Valores Maximos y Minimos
• Concavidad
• Prueba-Primera-Derivada

---

segunda-derivada extremos-locales pruebas concepto